Formula rădăcinilor
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
Exemplu: Rezolvă 2x² − 4x − 6 = 0. Aici a = 2, b = −4, c = −6. Discriminantul este (−4)² − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64, iar √64 = 8. Deci x = (4 ± 8) ÷ 4, adică x = 3 și x = −1. Vârful este la x = 4 ÷ 4 = 1, y = 2 − 4 − 6 = −8, deci punctul (1, −8) este minimul.
Tipurile de soluții
| Discriminant | Rădăcini | Grafic |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Două rădăcini reale distincte | Intersectează axa Ox de două ori |
| Δ = 0 | O rădăcină reală dublă | Atinge axa Ox în vârf |
| Δ < 0 | Două rădăcini complexe p ± qi | Nu atinge axa Ox |
Suma și produsul rădăcinilor (relațiile lui Viète): x₁ + x₂ = −b/a și x₁ × x₂ = c/a — o metodă rapidă de verificare a răspunsului.
Întrebări frecvente
Care este formula rădăcinilor ecuației de gradul 2?
Pentru ax² + bx + c = 0, cu a ≠ 0, soluțiile sunt x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a.
Ce îmi spune discriminantul?
Discriminantul Δ = b² − 4ac arată tipul rădăcinilor. Dacă Δ > 0 există două rădăcini reale diferite; dacă Δ = 0 există o rădăcină reală dublă; dacă Δ < 0 există două rădăcini complexe conjugate, iar parabola nu intersectează axa Ox.
Ce este vârful parabolei?
Vârful este punctul de întoarcere al graficului y = ax² + bx + c, la x = −b ÷ 2a. Este un minim când a > 0 și un maxim când a < 0.
Pot rezolva prin descompunere în factori?
Da, când ecuația se descompune ușor. x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), deci x = 2 sau x = 3. Formula rădăcinilor funcționează pentru orice ecuație de gradul 2, inclusiv pentru cele care nu se descompun în numere întregi.